图神经网络（GNNs，Graph Neural Networks）是一类专为图结构数据设计的强大神经网络，擅长捕捉数据之间的复杂联系和关系。

相较于传统神经网络，GNN在处理相互关联的数据点时更具优势，比如在社交网络分析、分子结构建模或交通系统优化等领域，GNN能够发挥出卓越的性能。

1 GNN概述

图神经网络是近年来新兴的一类深度学习模型，擅长处理图形数据。

传统神经网络处理的是像数字列表这样的简单数据，而图神经网络能处理更复杂的图形数据，比如由很多点（称为节点）和连接这些点的线（称为边）组成的图形，并且能从这些图形中找出重要的信息。

其核心机制是让图中的每个节点通过与邻近节点的信息交换，来学习自己在整体图形中的位置和特性。这种基于信息传递的方法，让图神经网络能够快速捕捉到图形里的结构和关系。

这种技术在很多领域都大放异彩，比如社交网络分析、分子结构预测、知识图谱构建等等。

随着科学家们不断地研究和创新，图神经网络也在蓬勃发展，衍生出多种新模型，为机器学习在图形数据领域的应用开辟了新的可能性。

2 图卷积网络（Graph Convolutional Networks）

简单来说，图卷积网络（GCN）跟传统神经网络一样，是由多层结构堆叠而成的。

在深度学习中，图卷积网络（GCN）的核心是图卷积层，其工作机制与卷积神经网络（CNN）的卷积层颇为相似。

在CNN中，卷积层负责捕捉图像中局部区域的像素信息，这个过程称之为“感受野”（Receptive Field），通过它，我们可以提取出图像的简化和低维特征。

GCN层的工作原理与之类似，不过不是处理像素，而是处理图中的节点信息。它通过收集每个节点及其相邻节点的信息，来构建节点的表示，从而捕捉图中的结构特征。

3 推导GCN方程式

来聊聊图卷积网络（GNN）的数学原理。

首先，GNN的输入是一个图，这个图可以用节点特征的矩阵和邻接矩阵来表示。邻接矩阵里的1代表两个节点之间有连接，0则表示没有连接。

这个例子的邻接矩阵是这样的：

节点 1 -- 节点 2|节点 3

当我们用A乘以节点特征矩阵X，得到的结果是每个节点的邻居对每个特征的贡献总和。简单来说，就是把每个节点i的邻居j的特征加起来：

然而，我们不应忽视节点自身的特征。为了将节点自身的特征也考虑进来，可以在邻接矩阵A的对角线上增加1，这在数学上相当于引入了单位矩阵I。

这样：

但是，还有一个问题：节点的邻居数量可能不一样。有的节点有几百个邻居，有的可能只有一两个。为了公平起见，我们需要对总和进行归一化。

一种方法是用每个节点的邻居数（也就是节点的度）来除以这个总和。可以创建一个对角线上是节点度的对角度矩阵D，然后归一化方程:

这样：

直观地说，行归一化就是取邻居特征的平均值，而列归一化则考虑了邻居的邻居数。

为了两者兼顾，采用对称归一化:

这考虑了当前节点的邻居数和邻居的邻居数。

这样一来，我们的方程式就越来越完整了！

最后，我们需要一些参数来训练机器学习模型，就像在线性回归中那样，可以简单地插入一个权重矩阵。

而且，我们知道添加非线性可以提供更好的特征表示，所以还可以在上面加一个ReLU激活函数。

最后：

4 PyTorch 实现

接下来，看看如何在 PyTorch 中实现图卷积网络。

首先，在类的初始化方法__init__中，我们会设置好邻接矩阵A、度矩阵D和权重矩阵W。

然后，在模型的前向传播过程中，利用这些组件来构建节点的新特征矩阵H。

import torchimport torch.nn as nnimport torch.nn.functional as Fclass GCNLayer(nn.Module):"""GCN 层参数:input_dim (int): 输入的维度output_dim (int): 输出的维度（softmax 分布）A (torch.Tensor): 2D 邻接矩阵"""def __init__(self, input_dim: int, output_dim: int, A: torch.Tensor):super(GCNLayer, self).__init__()self.input_dim = input_dimself.output_dim = output_dimself.A = A# A_hat = A + Iself.A_hat = self.A + torch.eye(self.A.size(0))# 创建对角度矩阵 Dself.ones = torch.ones(input_dim, input_dim)self.D = torch.matmul(self.A.float(), self.ones.float())# 提取对角元素self.D = torch.diag(self.D)# 创建一个新张量，对角线上是元素，其他地方是零self.D = torch.diag_embed(self.D)# 创建 D^{-1/2}self.D_neg_sqrt = torch.diag_embed(torch.diag(torch.pow(self.D, -0.5)))# 初始化权重矩阵作为参数self.W = nn.Parameter(torch.rand(input_dim, output_dim))def forward(self, X: torch.Tensor):# D^-1/2 * (A_hat * D^-1/2)support_1 = torch.matmul(self.D_neg_sqrt, torch.matmul(self.A_hat, self.D_neg_sqrt))# (D^-1/2 * A_hat * D^-1/2) * (X * W)support_2 = torch.matmul(support_1, torch.matmul(X, self.W))# ReLU(D^-1/2 * A_hat * D^-1/2 * X * W)H = F.relu(support_2)return Hif __name__ == "__main__":# 示例用法input_dim = 3# 假设输入维度是 3output_dim = 2# 假设输出维度是 2# 示例邻接矩阵A = torch.tensor([[1., 0., 0.],[0., 1., 1.],[0., 1., 1.]])# 创建 GCN 层gcn_layer = GCNLayer(input_dim, output_dim, A)# 示例输入特征矩阵X = torch.tensor([[1., 2., 3.],[4., 5., 6.],[7., 8., 9.]])# 前向传递output = gcn_layer(X)print(output)# tensor([[ 6.3438,5.8004],#[13.3558, 13.7459],#[15.5052, 16.0948]], grad_fn=<ReluBackward0>)

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